Wahrscheinlichkeiten für eine Sigma-Umgebung (f)

Jedem Radius einer Umgebung des Erwartungswertes m lässt sich eine bestimmte Wahrscheinlichkeit für diese Umgebung zuordnen. Umgekehrt gehören zu bestimmten Wahrscheinlichkeiten um den Erwartungswert bestimmte Radien.

Die folgenden Faustregeln für Binomialverteilungen gelten umso genauer, je größer der Stichprobenumfang n ist, insbesondere falls

s > 3

(LAPLACE-Bedingung). Es gelten folgende Zuordnungen:

Beispiel: n=100, p=0,4.
m=n·p=40 und  s=4,90. 
Damit ergibt sich das  90%-Intervall als 

[40-1,64·s; 40+1,64·s] = [31,96; 48,03].

"Runden zur sicheren Seite": [32; 48].

Mit dem folgenden Excel-Blatt lässt sich überprüfen, wie genau mit der Faustregel die 90%-, 95%- und 99%-Sicherheitsintervalle bestimmt werden. Probieren Sie auch kleine Stichprobengrößen n aus, für die die LAPLACE-Bedingung nicht erfüllt ist!

(Für das obige Beispiel ergibt sich für das Intervall [32;48] übrigens ein Wert von 91,79% - also 1,79% größer als gewünscht, obwohl die LAPLACE-Bedingung erfüllt ist!)