Wahrscheinlichkeiten für eine Sigma-Umgebung (e)

Jedem Radius einer Umgebung des Erwartungswertes m lässt sich eine bestimmte Wahrscheinlichkeit für diese Umgebung zuordnen. Umgekehrt gehören zu bestimmten Wahrscheinlichkeiten um den Erwartungswert bestimmte Radien.

Die folgenden Faustregeln für Binomialverteilungen gelten umso genauer, je größer der Stichprobenumfang n ist, insbesondere falls

s > 3

(LAPLACE-Bedingung). Es gelten folgende Zuordnungen:

Beispiel: Man hat ein 100-stufiges Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,4. Daraus folgt: Erwartungswert der Zufallsvariable X=Anzahl der Erfolge m=n·p=40 und  Standardabweichung s mit s²=n·p·(1-p)=24, d.h. s»4,90. Damit ergibt sich das  90%-Intervall als 

[40-1,64·s; 40+1,64·s] = [31,96; 48,03].

Man rundet stets "zur sicheren Seite", d.h. zum Erwartungswert hin. Damit bekommt man das Intervall [32; 48]. Mit 90% Wahrscheinlichkeit wird man also zwischen 32 und 48 Erfolge haben. Mit 10% Wahrscheinlichkeit bekommt man Erfolgsanzahlen außerhalb dieses Intervalls.

Wie genau ist die Faustregel?