Die Berechnung des Drehkörpervolumens bei Drehung um die y-Achse

Im Lernteil liegt der Schwerpunkt auf der Rotation um die x-Achse! Daher ist die Berechnung des Volumens bei Drehung um die y-Achse nur für Interessierte gedacht, es sei denn, die Mathematiklehrerin oder der Mathematiklehrer legt diesen Inhalt verbindlich fest!

(Bildquelle: LS Analysis Leistungskurs NRW. Klett-Verlag 2002)

Eine Fläche A wird begrenzt durch den Graphen K einer Funktion f, der y-Achse und den Geraden mit den Gleichungen y=c und y=d (vgl. Bild oben). Durch Rotation um die y-Achse entsteht ein Drehkörper.

Um das Volumen dieses Drehkörpers zu bestimmen, wird der Graph K an der 1. Winkelhalbierenden mit der Gleichung y=x gespiegelt.

Wenn nun die Funktion f auf einer geeigneten Definitionsmenge stetig und umkehrbar ist, so entsteht aus K der Graph zur Umkehrfunktion von f (siehe Bild oben). Aus der Fläche A wird die Fläche .

Bei Rotation von um die x-Achse und A um die y-Achse entstehen Rotationskörper mit demselben Volumen.

Daher ergibt sich:

Ist die Funktion f stetig und umkehrbar mit der Umkehrfunktion , so entsteht bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen zu f, der y-Achse und den Geraden mit den Gleichungen y=c und y=d ein Rotationskörper mit dem Volumen

BEISPIEL: Das Volumen des Rotationsparaboloids um die y-Achse ist zu berechnen:

(Bildquelle: TCP 2001, CD zu: Mathematik Gymnasiale Oberstufe. PAETEC-Verlag )

Da die Funktion f in Beispiel 1 eine im Intervall [1 ; 4] stetige und umkehrbare Funktion ist, lässt sich die Umkehrfunktion bestimmen:

Die Integrationsgrenzen ergeben sich aus c=f(1)=0,5 und d=f(4)=8 .
Für das Volumen gilt dann: