Übungsaufgaben

Drehkörper - Volumen- und Mantelflächenberechnungen

Baustein 5 - 12(12)

Übungsaufgaben

Übungsaufgabe 13: Das Pantheon in Rom
(Die Aufgabe findet sich mit kleineren Änderungen in: Unterrichts-Materialien Analysis, Stark Verlag, N.11.2.)
(nur für Leistungskurse)

Das Pantheon in Rom besitzt mit einem
Durchmesser von 43,30m die größte frei schwebende Kuppel der Welt.

Das Pantheon übertrifft die Kuppel der
Peterskirche in Rom (entworfen von
Michelangelo) um 0,78m, die Kuppel des Doms zu Florenz (entworfen von Brunelleschi) um 1,33m und es übertrifft die Kuppel der St. Pauls Cathedral in London (entworfen von Wren) um 12,30m.

Das Pantheon ist ein Symbol für das Harmoniestreben und das technische Können der Römer.

Die perfekte Harmonie des Gebäudes ergibt sich dadurch, dass der Durchmesser gleich der Höhe ist.

Nachdem die Vorläufer des Pantheons aus Holz zweimal abgebrannt waren, wurde das Gebäude unter Kaiser Hadrian in den Jahren 118 - 125 n. Chr. aus römischen Beton gebaut.

(Querschnitt durch das Pantheon)

a) Aus welchen beiden geometrischen Körpern besteht der Innenraum des Pantheons?

Berechnen Sie das Volumen dieser beiden Körper und ihr Verhältnis zueinander mit den Methoden der Mittelstufe!

b) Wie viel römischer Beton wurde ungefähr verbaut?

     Wie ist die Berechnung zu bewerten?

    Anleitung: V_Körper sei der Gesamtkörper (Außenmaße).
    Betrachten Sie:

    V_Baukörper = V_Körper - V_Innen - V_{Kuppelöffnung}
                            + V_Fundament

    und berechnen Sie V_Körper als Summe eines Rotations-
    volumens für die Kuppel und eines Zylinders!

Bestimmen Sie für die Kuppel als Randfunktion eine Parabel f der Form f(x) = ax² + b !
Der Parabelbogen erreicht seinen höchsten Punkt bei 44,90m und er endet etwa in 30m Höhe.